FUNCIONES ESPECIALES Y FUNCIÓN INVERSA

                Dentro del grupo de las funciones algebraicas existen cuatro tipos que pueden clasificarse como especiales, que son: La función constante, la idéntica, la de valor absoluto y la escalonada.

FUNCIÓN CONSTANTE.

                Una función constante es sobreyectiva, ya que el mismo valor del rango o codominio queda asociado con todos los valores del dominio.

Ejemplos de funciones constantes: y=3, f(x)=5, y=-2, etcétera.

FUNCIÓN IDÉNTICA O DE IDENTIDAD

Se llama función idéntica o identidad a la función biyectiva, cuya ecuación es y=x. El nombre de idéntica lo recibe porque su dominio es idéntico al rango o contradominio.

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto tiene por ecuación y = x , y tiene la propiedad de que todos los elementos del contradominio o rango siempre son positivos, ( y ≥ 0 ), esto es que los valores negativos del dominio cambian a valores positivos en el rango, como se observa en su gráfica:

FUNCIONES ESCALONADAS

                La función escalonada se define por partes, donde cada parte corresponde a una función constante

                Su representación gráfica es de la forma siguiente:

La gráfica presenta una discontinuidad de saltos. Cada escalón es la gráfica de una función constante, es decir, que se trata de “funciones constantes por trozos”.

En otras palabras, las funciones escalonadas se pueden describir como aquellas cuyas gráficas se forman por partes de rectas horizontales, lo que hace que presenten la discontinuidad de saltos.

FUNCIONES COMPUESTAS.

Las funciones compuestas se pueden crear cuando en la variable independiente de  una de las funciones se sustituye la regla de correspondencia de la otra función.

Así, por ejemplo, con la función f, definida por f(x)= 2x+3 y la función g, por g(x)= x −1, se pueden crear diferentes funciones compuestas, dependiendo de la función que sea tomada como la nueva variable independiente.

1. Si la función “g” se sustituye en la regla de correspondencia de la función “f”.

y= f [g(x)]= 2(x - 1)+3=2x -2+3=2x+1

(Es decir el valor de X para la función f, será g)

2. Si la función “f” se sustituye en su misma regla de correspondencia.

y= f [f(x)] = 2(2x + 3) + 3 = 4x+6+3 = 4x+9

3. Si la función “f” se suma con la función “g”.

y= [f + g] = (2x+3)(x-1)=3x-2

4. Si la función “f” se suma con “g”.

y=  [f · g] = (2x+3)(x-1)=2x²+x-3

La función compuesta creada con una función y su inversa siempre da como resultado la de identidad.

FUNCIONES INVERSAS.

Noción de función inversa.

Una función uno a uno nos asegura la formación de una segunda función al invertir los pares ordenados.

Ejemplo:

Si consideramos la función f: {(0,1), (1,2), (2,5), (3,10), (4,17)}, la cual es uno a uno, podemos definir ahora la función f ^-1: {(1,0),(2,1),(5,2),(10,3),(17,4)}.

A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le conoce con el nombre de función inversa.

En la notación f ⁻¹ , empleada para indicar la inversa de una función, el valor -1 no se debe confundir con un exponente, pues no se trata de una potencia sino de una representación simbólica.

Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia

La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta y=x.

Ejemplo:

Así, si expresamos la función y = 3x + 5 como un conjunto de parejas ordenadas, obtenemos f = {(-2,-1), (-1,2), (0,5), (1,8), (2,11)}. Las parejas ordenadas que definen a la correspondiente función inversa son: f −1 = {(-1,-2), (2,-1), (5,0), (8,1), (11,2)}.

Vistas gráficamente las dos, nos quedan de la siguiente forma:

Como puedes observar, hallar la inversa de una función definida como un conjunto de pares ordenados es fácil, pero cuando está dada en la forma explícita, y=f(x), ¿cómo se obtiene la regla de correspondencia de su inversa?

El procedimiento mostrado anteriormente de invertir el dominio y el rango, cuando la función está definida como un conjunto de pares ordenados, sugiere:

1) Cambiar el nombre de las variables, quedando entonces expresada la función en la forma 

 x=f (y).

2) Pero como no estamos acostumbrados a considerar a la variable “y” como independiente, entonces para que siga teniendo el papel de dependiente, la despejamos de la forma obtenida como

  x=f (y).

Ejemplo:

 Para hallar la inversa de la función y = 3x + 5

1) Cambiamos el nombre de las variables: x=f (y)     x = 3y + 5

2) Despejamos la variable y.

Dominio y rango

Lo que hemos observado hasta aquí es que el dominio de la función dada se convierte en el rango de la función inversa, y el raango de la función dada es el dominio de la función inversa. Toda función biunívoca (uno a uno) tiene una inversa.

ACTIVIDADES

Contesta y/o resuelve lo siguiente, argumentando la teoría en la que se soporten tus respuestas

1. Traza la gráfica de las funciones siguientes y la de su correspondiente función inversa, empleando el mismo sistema de coordenadas (en la misma grafica).

        a) 2x -1 = y

        b) f(x)= 4x + 2

        c) y = 5x

2. Traza la gráfica en cada caso e identifica el tipo de función.

         a) f(x) = 5

         b) f(x)=y

        c) f(x)=|x-2|

         e) Dadas las funciones f(x)=4x-2 y  g(x)=-x+5

                1)f[ g(x)]=

                    2) g[ f(x)]=

                   3) [ f+g]=

                  2) [ f · g]=

AVISO

Con estos temas terminamos lo que abarcara el segundo parcial, como saben tiene un trabajo general de todos los temas esas hojas me las entregaran el día 31 de octubre a las 7 pm en la biblioteca del carmen. Las actividades este temas son para el lunes 28 de octubre nos vemos a las 12 pm en la biblioteca del carmen (prometo llegar puntual esta vez jejejeje)... Y recordando les que el jueves a las 4 pm nos vemos en el final andador de Guadalupe para ir a resolver dudas y a explicarles lo temas.... Reitero cualquier duda a este blog al whatapps o al correo.... 

TIPOS DE FUNCIONES

Las funciones se pueden clasificar de diferentes maneras.

ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES.

Según el tipo de operaciones que se tienen que realizar para obtener sus valores, se clasifican en algebraicas y trascendentes:

Las funciones algebraicas se refieren a aquellas cuya regla de correspondencia puede ser expresada por medio de un polinomio, una expresión racional (cociente de dos polinomios) o una expresión irracional (forma radical).

Las funciones trascendentes se refieren a las funciones cuya regla de correspondencia NO es algebraica.

CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Según su gráfica, las funciones pueden clasificarse en continuas y discontinuas.

Gráficamente se prueba que una función es continua si se puede trazar sin levantar el lápiz del papel, pues en caso contrario corresponderá a la de una función discontinua.

CRECIENTES Y DECRECIENTES

Las funciones pueden generar gráficas que son crecientes o decrecientes. Que una función sea creciente significa que los valores de f(x) crecen conforme x crece. Que una función sea decreciente significa que los valores de f(x) decrecen conforme x crece

UNO A UNO, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS.

En los diferentes tipos de funciones, cuando se considera la forma como está asociado el dominio con su rango, se pueden clasificar en:

1.       Funciones uno a uno o inyectivas.  La función lineal f(x) = 2x - 3, es un ejemplo de una función uno a uno, porque para dos valores diferentes de su dominio se tienen exactamente dos valores diferentes de su rango o contradominio.

2.       Sobreyectivas o suprayectivas. En la función f(x)=x²  los valores del contra domino están asociados a al menos un valor del dominio, por lo tanto es un ejemplo de una duncio sobreyectiva o suprayectiva.

Cuando se conoce la gráfica de una función, una manera de saber cómo están asociados los valores de su dominio con los del rango es aplicando la prueba de la recta horizontal, para ver en cuántos puntos ésta corta a la gráfica.

Si corta a la gráfica en cuando mucho un punto, entonces la función será inyectiva o uno a uno. Si corta a la gráfica en más de un punto, entonces la función será sobreyectiva o suprayectiva. 

3. Biyectivas o biunívocas. Cuando una función cumple con las condiciones dadas tanto para las inyectivas como para las suprayectivas, recibe el nombre de biyectiva. Un ejemplo de estas funciones lo encontramos en las lineales, cuya gráfica es una recta.

ACTIVIDADES:

 Resuelve los siguientes planteamientos

1) Investiga el significado de trascendente y explica cómo se relaciona este significado con relación a las funciones algebraicas.

2) Presenta una gráfica que represente a una función continua y otra a una discontinua.

3) Determina para qué valor de x la siguiente función es discontinua.

a) Simplifica el cociente y escribe el resultado. (Para poder simplificar es necesario factorizar)

b) Grafica por separado la función dada en 3) y la obtenida en a), y comprueba que sólo son diferentes en el punto de discontinuidad.

4) Escribe una representación tabular de una función que cumpla con las condiciones para ser creciente y muéstralo gráficamente.

5) Haz un bosquejo de la gráfica (trazo) de una función que cumpla con las siguientes condiciones:  Discontinua en x=3 y decreciente.

6) ¿Es biyectiva la función y = x3 ? Justifica tus respuestas apoyándote en la gráfica correspondiente.

7). Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas y también clasificalas en crecientes o decrecientes según sea el caso:

A V I S O

Hola Chic@s, este es el siguiente tema, en realidad esta muy sencillo cualquier duda al blog o al grupo de whatapps (No contestare whatapps que no sean enviados al grupo), Para cualquier duda que me quieran cuestionar de manera personal el  Lunes 21 de octubre de 2013 a las 12:15 frente a la biblioteca del Carmen. las actividades ya realizadas (CON PROCEDIMIENTO Y GRÁFICAS) las recibiré ÚNICAMENTE el día martes 22 de octubre de 2013 a las 12 p.m (medio día), frente a la biblioteca del Carmen (NO LAS RECIBIRÉ DE MANERA DIGITAL). Por favor avísele a los compañeros que falten, recordando les que de esta forma calificaremos el segundo parcial de no cambiar la situación escolar.

EN SÍNTESIS

Hola chic@este es un repaso de lo que estuvimos aprendiendo antes de empezar a recordar álgebra, a partir de este momento ya entramos de nuevo con función así que por favor lean y analicen este tópico y cualquier dudad pregunten.

¿QUÉ ES UNA RELACIÓN Y QUE ES UNA FUNCIÓN?

Existen situaciones en las que se puede observar que dos magnitudes guardan una correspondencia tal que el valor de una de ellas dependa de la otra, La dependencia que se observa entre dos magnitudes, puede ser expresada por medio de una tabla de valores, o de una ecuación. Otra forma de expresar la relación de dependencia entre dos magnitudes es por medio de un conjunto de pares ordenados por lo tanto, Podemos definir a una relación como un conjunto de pares ordenados.

Dentro de las relaciones hay una clase especial llamada función.

“Una función es una relación en la que al primer componente del par ordenado, solamente le corresponde uno y solamente un valor como segundo componente del par.”

Con base en el concepto dado de función, podemos identificar cuándo una gráfica la representa, si al trazar una recta vertical ésta sólo la intercepta en un punto. En caso contrario, corresponderá a una relación que no es función.

DIVERSAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN.

Una función puede ser representada a través de una ecuación, una tabla de valores, un conjunto de pares ordenados o mediante una gráfica.

Sea la función y = x³ − x² + 5, la relación de dependencia entre los valores de las variables puede ser expresada mediante la siguiente tabla:

La cual nos conduce a la forma del siguiente conjunto de pares ordenados: {(-1,3),(0,5),(1,5),(2,9)} los cuales a su vez si se llevan a un sistema cartesiano nos produce la gráfica de la función.

La forma simbólica para expresar la existencia de una función es mediante la igualdad y = f (x), donde f (x) ; representa la regla que define a la función. En el siguiente ejemplo y = 2x + 5; la regla que define a la función es: “cada valor de x, multiplicarlo por 2 y luego a este resultado sumarle 5”. Los diferentes resultados de la función que se obtienen con la regla de correspondencia que la define corresponden a las variaciones de”y”.

Una función puede ser expresada en forma explícita o en forma implícita. Por ejemplo, la función dada en el ejemplo anterior está dada en forma explícita. Si asociamos sus términos en un solo lado de la igualdad, entonces tendremos la forma implícita 2x − y + 5 = 0

DOMINIO Y CONTRADOMINIO (CODOMINIO O RANGO).

Se llama dominio al conjunto de números reales que se le pueden asignar a la variable que expresa la regla de correspondencia de la función (en la mayoría de los caso es X) y que producen un resultado definido.

La variable que participa en la regla de correspondencia de la función se le conoce con el nombre de variable independiente.

El dominio de una función se puede definir como el “conjunto de valores que se le pueden asignar a la variable independiente y para los cuales queda definida la función”.

En la función  el dominio estará formado solamente por los valores de “x” que produzcan un resultado definido, por lo que se excluirá el caso cuando x=4, pues no es posible la división entre cero. Entonces, en las funciones racionales se deben excluir los valores de “x”, para los que se anula el denominador.

En la función , el dominio estará formado por todos los valores de “x” que produzcan un resultado positivo en el radicando (9-x2); en este caso el dominio estará formado por todos los valores de “x”, que sean menores e iguales que 3 y mayores e iguales que -3. Observemos que para valores mayores que 3, el resultado en el radicando es negativo, y lo mismo sucede para valores menores que -3.

Las funciones que en su regla de correspondencia contienen un radical, el dominio estará formado por el conjunto de valores que no produzcan un resultado negativo en el radicando.

Si la regla de correspondencia que define a la función es un polinomio, entonces el dominio quedará formado por todos los números reales, pues su estructura no presenta restricciones.

Ejemplo: La función y = x³ − 2x² + 5x +1 acepta en su dominio a todos los números reales. Para su graficación es recomendable considerar una muestra de números negativos y de positivos incluyendo al cero.

Se llama contradomino, codominio o rango de una función al conjunto de valores que se obtienen cuando los elementos del dominio son sustituidos en la regla de correspondencia de la función.

Entonces el contradominio está formado por los valores que alcanza la función, o sea, por el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. A manera de conclusión podemos afirmar que:

Una función se puede comparar con un procedimiento en el que cada uno de los valores de entrada (dominio) se somete a una regla f(x) para producir un valor de salida (codominio o valor de y).

FACTORIZACION

Recibe este nombre el proceso algebraico que consiste en expresar un polinomio como el producto de factores. En otras palabras factorizar quiere decir convertir en multiplicación

EJEMPLO:

FACTORIZACION DE POLINOMIOS QUE TIENE UN FACTOR COMÚN

Cuando se factoriza un polinomio de esta forma se toma como factor común de ser posible la letras o el numero o ambos que se repita en todos los términos.

EJEMPLO:

                Cuando a simple vista no podemos obtener un factor factorizamos de la siguiente manera

1.       Se obtiene el máximo común divisor de los coeficiente
2.       Se elige la o las letras comunes con menor exponente
3.       Se dividen todos los términos del polinomio entre el factor común para obtener el otro factor

ACTIVIDAD: Pagina 145 del libro de BALDOR ejercicio 89 incisos del 16 al 25. 

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

                El resultado de factorizar una diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados (Binomio conjugado ya habíamos hablado en clases de ellos)

ACTIVIDAD: Pagina 152 del libro de BALDOR ejercicio 93 incisos del 1 al 14.

FACTORIZACIÓN UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

                El resultado de factorizar un trinomio cuadro perfecto es un binomio la cuadrado. Antes de factorizar un trinomio es necesario verificar si es cuadrado perfecto, es decir si cumple con las siguientes características.

1.       El trinomio debe tener dos términos cuadráticos
2.       El tercer término (normalmente se ubica en medio del trinomio) debe ser el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos.

EJEMPLO:

ACTIVIDAD: Pagina 151 del libro de BALDOR ejercicio 92 incisos del 5 al 14.

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA X²+BX+C

El resultado de esta factorización es el producto de dos binomios con un término común. Para ser un trinomio de la forma X²+BX+C debe cumplir las siguientes condiciones:

1.       El coeficiente del primer término debe ser 1 

2.       El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado

3.       El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4.       El tercer término es independientes de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera positiva o negativa

El trinomio se descompone en dos factores (dos binomios) cuyo primer término será la letra, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Para obtener los dos términos restantes se buscan números que al multiplicarlos me den el tercer término (el que solo es una cantidad) y sumados algebraicamente me den el segundo término (el que comparte la letra con exponente 1).

EJEMPLO:

ACTIVIDAD: Pagina 161 del libro de BALDOR ejercicio 98 incisos del 6 al 18.

A V I S O

Chic@s con este tema concluimos el repaso de álgebra, las actividades me las entregaran el día Miércoles 16 de octubre de 2013 a las 12 pm(medio día) . Si es de forma electrónica me las envían al correo flova_23@hotmail.com y de manera personal esa misma fecha y hora en el arco del carmen frente a la biblioteca. Cualquier duda por este medio a directo al correo anterior. También ese mismo día recibiré las actividad que deje el día lunes 7 de octubre.

BIENVENIDA

Hola Chic@s, este sera el medio que utilizaremos para estar en comunicación mientras las actividades en la escuela se normalizan.

A partir de el lunes 14 de octubre le estere dejando temas, explicaciones y actividades. así como también las fechas de entrega de actividades y ustedes podrán expresar sus dudas o comentarios.