FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOULUCION DE PROBLEMAS

Ceros y raíces reales.

Los ceros reales de una función son todos los valores de x, tanto racionales como irracionales, para los cuales la función se hace cero. Al igualar a cero la función, se genera una ecuación. A los resultados que se obtienen al resolver la ecuación, se les conoce con el nombre de raíces de la ecuación.

Abriremos una ventana hacia el algebra, para poder tener elementos que nos permitan estudiar el comportamiento gráfico de una función. Empezaremos con el estudio de la división sintética.

División sintética.

La división sintética es una técnica abreviada para dividir cualquier función f(x), entre un binomio de la forma (x − r).

Ejemplo para dividir f (x) = x² − x − 6 entre (x − 3), se escribe el siguiente arreglo:

El cociente de esta división es x + 2, entonces la función dada se puede expresar en términos de sus factores como f (x) = (x − 3)(x + 2).

En una división, los polinomios que corresponden tanto al dividendo como al divisor, deben escribirse siguiendo un orden decreciente de sus potencias.

Se tomará como cero el coeficiente de alguna potencia faltante en el ordendecreciente. Ejemplo P(x) = x³ −8 equivale a considerar P(x) = x3 + 0x2 + 0x −8 .

           Si el polinomio p(x) = x³ −8 , se quiere dividir entre el binomio x+2, entonces la división sintética se realiza empleando el arreglo de coeficientes de las potencias en forma decreciente, el divisor x + 2 se considera como x – (-2) y nos queda:

En esta división, el cociente corresponde al polinomio x² − 2x + 4 y el residuo corresponde a -16 (último resultado la derecha de las suma en columna).

El producto del divisor por el cociente obtenido más el residuo, produce como resultado P(x) = (x + 2)(x² − 2x + 4) + (−16) , de donde encontramos que P(x) = x³ −8 = (x + 2)(x² − 2x + 4) + (−16) . En este caso decimos que x+2 no es factor de P(x) = x³ −8 , porque su residuo es diferente de cero.

Factores y residuos.

Un binomio (x – r) se considerará factor de un polinomio p(x), si al dividirlo produce un residuo igual a cero.

Ejemplo: El binomio x-3 es un factor del polinomio P(x) = 2x² − 5x − 3, porque al dividirlo se produce un residuo cero, lo que se puede comprobar evaluando el polinomio para x=3 o bien, haciendo la división como se muestra a continuación:

Los factores del polinomio son (x – 3) (2x + 1).

Ceros racionales.

Son los números racionales que resultan de la comparación por división de los factores, del término independiente con los factores del coeficiente principal,

Ejemplo: para hallar los ceros racionales de la función f(x) = x⁴ + x³ − 4x² − 2x + 4 , donde el término constante a₀=4 y el coeficiente principal a₁=1 , formaremos todos los posibles cocientes que se forman con sus factores los cuales tendrán la forma de

Factorde , los cocientes conducen a estos casos:

Si hacemos la prueba para cada uno de ellos por medio de la división sintética, encontraremos que de los seis posibles casos anteriores, sólo x = 1 y x = -2 son ceros racionales del polinomio que define a la función dada, lo cual se muestra mediante la división sintética:

De acuerdo con los resultados se tiene que x-1 y x+2 son factores de f (x) .

Para obtener todos los factores hacemos divisiones sucesivas con los factores encontrados:

El cociente que se obtiene es x³ + 2x² − 2x − 4 , el cual lo volvemos a dividir entre el otro factor x + 2:

El cociente que se obtiene es x² – 2.

Concluimos entonces que la forma factorizada de la función

f (x) = x⁴ + x³ − 4x² − 2x + 4 es f (x) = (x −1)(x + 2)(x² − 2) ,

y que los ceros racionales son x =1 y x = -2.

El factor (x² − 2) da origen a dos ceros irracionales, los cuales se producen cuando se le iguala a cero, obteniéndose los valores 2 y − 2 .

La gráfica de la función es la siguiente:

Factor Lineal.

Con relación al número de ceros de una función polinomial podemos considerar que: si r es un cero de una función polinomial f (x) , entonces x – r es un factor de f (x) concluyendo entonces que:

Un polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales.

ACTIVIDADES:

 1. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función

F(x) = −6x³ − 2x² − 6x − 2 .

2. Expresa en factores lineales la regla de correspondencia de la función

f (x) = x⁴ + 7x² −144 .

*Indica la multiplicidad de los factores encontrados.

*Construye la gráfica de la función.

3. Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función f (x) = x3 − 5x2 + 2x −10 .

*Indica la multiplicidad de los factores encontrados.

*Construye la gráfica de la función.

NOTA:

Las actividades se entregan el día lunes 25 de noviembre o martes 26 de noviembre de 1 a 2 en coordinación de COBACH ( frente al deportivo)