FUNCIONES POLINOMIALES

Modelo general de las funciones polinomiales.

                En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio. Formalmente, es una función:

“n “es un número natural y se llama el grado del polinomio, Los números a_n,  a_n−1,···, a₁, a₀ son números reales y son los coeficientes del polinomio. Se pide que a_n ≠ 0.

                Dicho de otra forma: es un polinomio definido para todo número real x; es decir, una suma finita de potencias de x, multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

Forma y representación gráfica de funciones polinomiales de grado: cero, uno, dos, tres y cuatro

                El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se  muestra en las siguientes funciones:

1.       f(x) = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante.

2.       f(x) = 4x − 1. Es de grado uno, también conocida como función lineal.

3.       f(x) = x² + 5x + 6. Es de grado dos, se le conoce como función  cuadrática.

4.       f(x)= 4x² + 5x³ + 1. Es de grado tres y se le conoce como función cúbica

5.       f(x)= 4x⁴ + 3x³ + 2x² + 1. Es de grado cuatro y se le conoce como función cuartica.

FUNCIONES POLINIMIALES GARDO CERO (características y parámetros)

La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

F (x ) = a, donde “a” es una constante

Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a).

Graficar la función f(x) = 5, determinar su dominio y rango.

La función también se puede expresar como y = 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra en la siguiente figura.

  

Dominio (−∞, ∞), y su contradominio{5}

Se debe recordar que el dominio de un polinomio siempre será  𝑅 = (−∞, ∞)

FUNCIONES POLINIMIALES GARDO UNO (características, parámetros y aplicaciones)

La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen  es:

y = mx + b

Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera:

F(x) = mx + b

Dónde:

b Es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje y, además  se le denomina término independiente.

m. Es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación,  es el coeficiente de la variable.

x. Es la variable independiente.

En la siguiente figura se muestra la función de los parámetros antes mencionados.

F(x) = 2x+3

Aplicaciones

Funciones de proporcionalidad directa

Las funciones polinómicas de primer grado con término independiente cero, representan la relación entre dos variables directamente proporcionales. Por ejemplo.

Supongamos que el kilogramo de naranja  tiene un valor $8 pesos. Para saber el precio de  X cantidad de kilos. Nuestra función quedaría expresada de la siguiente manera.

F(x) = 8x

                Las funciones polinómicas de primer grado con término independiente, representan la relación entre dos variables directamente proporcionales y el aumento o disminución de la variable independiente. Por ejemplo.

El costo por llamada local es de $5 pero minuto, si es una llamada de larga distancia se cobrara roming adicional que es de $3 por llamada. ¿Cuál será el costo de una llamada de X minutos?

F(x) = 5x+3

FUNCIONES POLINIMIALES GARDO DOS (características, parámetros y aplicaciones)

Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como f(x) = ax² + bx + c, con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0) se compone de la siguiente manera:

ax²=  Término cuadrático.

bx=. Término lineal.

c.= Termino independiente.

La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas.

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas, como se muestra en la siguiente figura.

Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máximo, como se muestra en la siguientes  figuras.

APLICACIONES

Mediante las funciones polinómicas de segundo grado se pueden estudiar algunas situaciones, presentes en el mundo físico y la vida real.

Además el vértice de la parábola, es el máximo o mínimo relativo y a la vez absoluto de la función cuadrática correspondiente; mínimo si es convexa (hacia arriba) o máximo si es cóncava hacia abajo. Entonces para calcular los extremos relativos de estas funciones basta calcular las coordenadas del vértice, como puedes observar en los ejemplos siguientes.

1) Movimiento uniformemente acelerado

2) Rectángulo de área máxima

3) Punto de no retorno

FUNCIONES POLINIMIALES GARDO TRES (características y parámetros)

Son las de la forma y = ax³ + bx² + cx + d , siendo a , b , c y d números reales y a≠0.

Todas estas funciones tienen dominio y contradomido (-∞,∞) y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas(eje Y) en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas (eje X) siempre en el punto (0,d)

Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :

- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava.

- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.

CASO 1: y = ax3. Estamos en el caso de que b, c y d son nulos. Son funciones que tienen un único punto de corte con los ejes que es el (0,0), no tienen extremos y son crecientes si  a > 0 y decrecientes si a < 0. Al variar "a" podemos observar que si toma valores cada vez mayores la función se acerca al eje OY y si los valores de "a" son más pequeños se ensancha.

CASO 2: y = ax3 + d Estamos en el caso de que b y c sean nulos. Estas funciones tienen dos puntos de corte con los ejes, uno con el 0X y otro con el 0Y, no tienen extremos y son crecientes si a > 0 y decrecientes si a < 0.Su gráfica se obtiene trasladando la de la  función y = ax3 , d unidades en la dirección del eje 0Y. Al variar d, se puede ver que si d > 0 la traslación es hacia arriba y si d < 0 la traslación es hacia abajo

 CASO 3:  y = ax3 + bx2: En este nuevo caso c y d son nulos. Son funciones que tienen como puntos de corte (0,0) y (-b/a,0) , los extremos están en los puntos de abscisas x = 0 y x = -2b/3a (todas las funciones de este caso tienen un máximo y un mínimo) y el punto de inflexión está en x=-b/3a.

CASO 4:  y = ax3 + cx. En este último caso particular b y d son nulos. Dependiendo de los valores de a y c sólo hay dos familias de gráficas:

CASO 5: CASO GENERAL  y = ax3 +bx2 + cx + d

FUNCIONES POLINIMIALES GARDO CUATRO (características y parámetros)

Es la función de fórmula: y = ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

           En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos.

Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.

            Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”.

ACTIVIDADES:

1.- Completar la siguiente tabla, donde para cada función polinomial se identifica su término independiente y grado 

2. En cada caso haz una tabla de valores y gráfica correspondiente (Realiza todos los trazos en el mismo plano).

a) f(x)=3  

b) f(x)=-2x+3  

c) f(x)=x²-x+2

d) f(x)= x³+x²+x-4

e) f(x)=x⁴+x³-x²+x+5

3.- Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios

1. Escribe la ecuación de la función que representa el peso de un caballo si nace con 30 kg y aumenta a razón de 1 kg cada 2 días.

2. Escribe la ecuación de la función que representa el precio al finalizar la conexión en un ciber, si el establecimiento de la conexión cuesta 0,10 € y cada minuto vale 0,03 €.

3. Escribe la ecuación de la función que representa el nº de la página del libro que estoy leyendo, sabiendo que todos los días avanzo el mismo nº de páginas, el día 10 iba por la 290, y el día 17 por la 465.

4. Escribe la ecuación de la función que representa la cantidad total en € (IVA incluido) a pagar en una factura, en función del precio sin IVA, sabiendo que el porcentaje de aumento aplicado es del 16%.

5. Calcula el valor de b para que la gráfica de la función f(x)=2x²+bx-4, pase por el punto (-3, 2).

            6.-  Escribe la ecuación de la parábola que tiene coeficiente a=1, corta al eje de ordenadas en (0, -3) y su vértice es el punto (-2, -7). 

NOTA:  LAS ACTIVIDADES LAS RECIBIRÉ EL DÍA MARTES 19 DE 1-1:30 O EL MIÉRCOLES 20 DE 11-11:30 EN COORDINACIÓN DE COBACH (POR EL DEPORTIVO)