FUNCIONES ESPECIALES Y FUNCIÓN INVERSA

                Dentro del grupo de las funciones algebraicas existen cuatro tipos que pueden clasificarse como especiales, que son: La función constante, la idéntica, la de valor absoluto y la escalonada.

FUNCIÓN CONSTANTE.

                Una función constante es sobreyectiva, ya que el mismo valor del rango o codominio queda asociado con todos los valores del dominio.

Ejemplos de funciones constantes: y=3, f(x)=5, y=-2, etcétera.

FUNCIÓN IDÉNTICA O DE IDENTIDAD

Se llama función idéntica o identidad a la función biyectiva, cuya ecuación es y=x. El nombre de idéntica lo recibe porque su dominio es idéntico al rango o contradominio.

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto tiene por ecuación y = x , y tiene la propiedad de que todos los elementos del contradominio o rango siempre son positivos, ( y ≥ 0 ), esto es que los valores negativos del dominio cambian a valores positivos en el rango, como se observa en su gráfica:

FUNCIONES ESCALONADAS

                La función escalonada se define por partes, donde cada parte corresponde a una función constante

                Su representación gráfica es de la forma siguiente:

La gráfica presenta una discontinuidad de saltos. Cada escalón es la gráfica de una función constante, es decir, que se trata de “funciones constantes por trozos”.

En otras palabras, las funciones escalonadas se pueden describir como aquellas cuyas gráficas se forman por partes de rectas horizontales, lo que hace que presenten la discontinuidad de saltos.

FUNCIONES COMPUESTAS.

Las funciones compuestas se pueden crear cuando en la variable independiente de  una de las funciones se sustituye la regla de correspondencia de la otra función.

Así, por ejemplo, con la función f, definida por f(x)= 2x+3 y la función g, por g(x)= x −1, se pueden crear diferentes funciones compuestas, dependiendo de la función que sea tomada como la nueva variable independiente.

1. Si la función “g” se sustituye en la regla de correspondencia de la función “f”.

y= f [g(x)]= 2(x - 1)+3=2x -2+3=2x+1

(Es decir el valor de X para la función f, será g)

2. Si la función “f” se sustituye en su misma regla de correspondencia.

y= f [f(x)] = 2(2x + 3) + 3 = 4x+6+3 = 4x+9

3. Si la función “f” se suma con la función “g”.

y= [f + g] = (2x+3)(x-1)=3x-2

4. Si la función “f” se suma con “g”.

y=  [f · g] = (2x+3)(x-1)=2x²+x-3

La función compuesta creada con una función y su inversa siempre da como resultado la de identidad.

FUNCIONES INVERSAS.

Noción de función inversa.

Una función uno a uno nos asegura la formación de una segunda función al invertir los pares ordenados.

Ejemplo:

Si consideramos la función f: {(0,1), (1,2), (2,5), (3,10), (4,17)}, la cual es uno a uno, podemos definir ahora la función f ^-1: {(1,0),(2,1),(5,2),(10,3),(17,4)}.

A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le conoce con el nombre de función inversa.

En la notación f ⁻¹ , empleada para indicar la inversa de una función, el valor -1 no se debe confundir con un exponente, pues no se trata de una potencia sino de una representación simbólica.

Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia

La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta y=x.

Ejemplo:

Así, si expresamos la función y = 3x + 5 como un conjunto de parejas ordenadas, obtenemos f = {(-2,-1), (-1,2), (0,5), (1,8), (2,11)}. Las parejas ordenadas que definen a la correspondiente función inversa son: f −1 = {(-1,-2), (2,-1), (5,0), (8,1), (11,2)}.

Vistas gráficamente las dos, nos quedan de la siguiente forma:

Como puedes observar, hallar la inversa de una función definida como un conjunto de pares ordenados es fácil, pero cuando está dada en la forma explícita, y=f(x), ¿cómo se obtiene la regla de correspondencia de su inversa?

El procedimiento mostrado anteriormente de invertir el dominio y el rango, cuando la función está definida como un conjunto de pares ordenados, sugiere:

1) Cambiar el nombre de las variables, quedando entonces expresada la función en la forma 

 x=f (y).

2) Pero como no estamos acostumbrados a considerar a la variable “y” como independiente, entonces para que siga teniendo el papel de dependiente, la despejamos de la forma obtenida como

  x=f (y).

Ejemplo:

 Para hallar la inversa de la función y = 3x + 5

1) Cambiamos el nombre de las variables: x=f (y)     x = 3y + 5

2) Despejamos la variable y.

Dominio y rango

Lo que hemos observado hasta aquí es que el dominio de la función dada se convierte en el rango de la función inversa, y el raango de la función dada es el dominio de la función inversa. Toda función biunívoca (uno a uno) tiene una inversa.

ACTIVIDADES

Contesta y/o resuelve lo siguiente, argumentando la teoría en la que se soporten tus respuestas

1. Traza la gráfica de las funciones siguientes y la de su correspondiente función inversa, empleando el mismo sistema de coordenadas (en la misma grafica).

        a) 2x -1 = y

        b) f(x)= 4x + 2

        c) y = 5x

2. Traza la gráfica en cada caso e identifica el tipo de función.

         a) f(x) = 5

         b) f(x)=y

        c) f(x)=|x-2|

         e) Dadas las funciones f(x)=4x-2 y  g(x)=-x+5

                1)f[ g(x)]=

                    2) g[ f(x)]=

                   3) [ f+g]=

                  2) [ f · g]=

AVISO

Con estos temas terminamos lo que abarcara el segundo parcial, como saben tiene un trabajo general de todos los temas esas hojas me las entregaran el día 31 de octubre a las 7 pm en la biblioteca del carmen. Las actividades este temas son para el lunes 28 de octubre nos vemos a las 12 pm en la biblioteca del carmen (prometo llegar puntual esta vez jejejeje)... Y recordando les que el jueves a las 4 pm nos vemos en el final andador de Guadalupe para ir a resolver dudas y a explicarles lo temas.... Reitero cualquier duda a este blog al whatapps o al correo....